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鼠算 [和算]

和本を取り上げたついでに、和算の話題を。

和算の問題の一つに「鼠算」というものがあります。初出は江戸時代の算術の基礎を網羅した『塵劫記』(吉田光由著、初版寛永五年=1627年)とされていますが、このようなものです。

(原文)正月に鼠父母出て子を十二疋うむ、親共に十四疋に成。此鼠二月には子も又子を十二疋ずつ産むゆえに、親共に九十八疋に成。かくのごとく、月に一度ずつ、親も子も又まごもひこも月々に十二疋ずつうむ時に十二月にはいかほどになるぞといふ。

(私訳)ネズミの夫婦が1月に12匹の子を産みます。(雌雄同数とする。)このネズミ、二月には子もまた12匹ずつ子を産むので、親ともに98匹となります。このように月に一度12匹ずつ子を産むとすると、12月には総数は何匹になるでしょうか。

問題と計算の説明を原書で。

算法指南車-04.jpg

算法指南車-05.jpg

算法指南車-06.jpg

計算法はこう書かれています。

法にねずみ二疋に七を十二度掛くれば右の鼠高と知れ申候也。

2匹の親から12匹の子どもが生まれ7つがいになります。
親子で2+12=2×7=14匹です。
2月には7つがいから12匹ずつ生まれるので、親子孫合わせて(2+12)×7=2×7×7=98匹となります。

現代の数学の考え方では、これは初項2、公比7の等比数列になっていて、12月における合計は第13項となります。(厳密には帰納法で証明しなければいけませんが。)

従って、2×7×・・・×7(7の13-1乗)を計算して、27682574402を得ます。

算法指南車-07.jpg

『塵劫記』は寺小屋の教科書でしたので、子どもがそろばんで計算していたのでしょうね。ほんの11桁ですが、筆算だと大変です。

さて、この問題には続きがあって、「27682574402匹の鼠が一日に米を半合ずつ食べるとすると合計いくらになるか。」と「1匹の体長を4寸とすると、27682574402匹の鼠を繋げていくとどれくらいの長さになるか。」がおまけとして付いています。

この画像は私が持っています『塵劫記』の異本である『算法指南車』をスキャンしたものです。正式には『新編塵劫記首書増補改算法指南車』というタイトルが付いています。

算法指南車-01.jpg

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明和戊子春三月 浪速 小川愛道識と書かれていますが、明和五年(1768年)のことです。江戸時代にはこのような『塵劫記』の異本がたくさん出たようです。私ももう一冊別のものを持っています。当時は著作権という考え方が無かったのですが、この本の出版は吉田光由が亡くなった1673年から100年近く経っているので、現代でも合法ですね。

今日も楽器を弾く時間がとれませんでした。ご訪問も滞っていて申し訳ありません。

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鶴亀算 [和算]

「鶴亀算」は文章題の解き方の一つで、未知数x, yを使った連立方程式を使えない小学校の算数で習った記憶があります。

例えば、「鶴と亀が合わせて35頭います。足の数の合計が94足のときにそれぞれの頭数を答えなさい。」というようなものです。

解き方として以下のように習った記憶があります。

「35頭すべてが鶴だと仮定すると足の数は70足になります。ところが足の数の合計は94足なので24足足りません。鶴を1頭亀に置き換えると足の数が2足増えます。足りない24足を補うには24/2=12頭置き換えればよいことが分かります。従って鶴は35-12=23頭、亀は12頭ということになります。」

これは元々中国の紀元3世紀頃(西晋-東晋)の数学書『孫子算経』に原型が見られ、原文はこうなっています。

今有雉、兔同籠,上有三十五頭,下九十四足。問雉、兔各幾何
答曰:雉二十三。兔一十二。
術曰:上置三十五頭,下置九十四足。半其足,得四十七。以少減多,再命之,上三除下三,上五除下五。下有一除上一,下有二除上二,即得。
又術曰:上置頭,下置足。半其足,以頭除足,以足除頭,即得。

雉と兎ですね。

さて、今日ちょっと調べ物があって私が持っている江戸時代の和算書をめくっていたのですが、こちらにも鶴亀算が載っています。天保五年(1834年)刊の『算法新書』(千葉雄七胤秀著)です。

以前記事にしたときの写真を再掲します。







木版とは思えないほどの精密さです。

さて、鶴亀算の部分はこうなっています。スキャナで取り込んで加工してあります。

算法新書_鶏兎算.jpg

鶏と兎です。(挿絵は『北斎漫画』より取って入れました。)

変体仮名は慣れないと読みづらいですが、おおよその意味はとれますね。

鶏と兎が合わせて100頭、足の数が合わせて284本、鶏と兎の数各々何程と問う。
答 鶏58羽、兎42匹
術に曰く 鶏1羽の足2へ頭数100を掛けて200を得る。以て足数284の内より引き、残り84、(これを)実とする。
兎1匹の足4の内、鶏1羽の足2を引いた残り2を以て実を割り、兎の匹数を得る。
得た数を100の内より引いて鶏の羽数を得る。

図解も付いていて親切です。よろしければ読んでみて下さい。

送り仮名が付いていますが、「問題、答え、解き方」という記述のスタイルが『孫子算経』と同じということが興味深いですね。

鶴と亀になったのは恐らく江戸時代の日本においてだと思われますが、出典は不明です。ひょっとすると明治以降かも知れません。

今日は仕事が多忙につき楽器の練習をお休みしました。

(追記2010.10.14.)
yablinskyさんがコメントしていらっしゃいますが、関孝和(1642-1708)は日本が生んだ世界に誇る数学者です。その研究は西洋に先んじていたものもあります。和算は鎖国の日本で独自の発展を遂げましたが、暦との関係をのぞいて実学と結びつかなかったところが廃退の大きな原因でしょうか。明治維新で浮世絵を初めとして多くの日本独自の文化が捨てられてしまいました。それも原因の一つですね。

『算法新書』の著者、千葉雄七胤秀(1775-1849)は関流の和算家です。

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塵劫記 [和算]

江戸初期、京都の角倉一族の生まれた和算家吉田光由(1598-1672)が出版しました「塵劫記」は、江戸時代を通じてベストセラーになり、明治時代になっても出版され続け、海賊版は3~400種類に及んだと言います。

海賊版の一つは私も持っており以前紹介しました

内容は、九九、そろばんに始まり、面積の計算など生活に必要な算術を網羅している一方で、「継子立」や相手が選んだ字を当てる「目付字」などの数学的遊びも載せています。

和算は江戸時代に高度な発展を遂げましたが、「塵劫記」は研究書ではなく、あくまでも実用的な数学書だったことがベストセラーの大きな理由でしょう。

「塵劫記」の解説書や研究書は大きな書店に行けば数学書のコーナーに置いていますが、手軽に手に入るのが岩波文庫です。

塵劫記.jpg

塵劫記、吉田光由著、大矢真一校注、岩波文庫

原書のカラー写真をこちらで見ることができます。

東北大学和算ポータルでは、多くの和算書の白黒画像を見ることができます。

今年も仕事で江戸時代の和算書を取り出すことがあり、思い出したので記事にしました。

本日の練習:Francesco da MilanoのRicercha(Ness #84)、Fantasia(Ness #40)、Ricercar(Ness #15)、Ricercar(Siena ms., fol. 20r-20v)と"70 Easy to Intermediate Pieces for Renaissance Lute"の8~15。

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印刷技術 [和算]

1450年頃、ドイツでグーテンベルクが活版印刷機を発明…羅針盤、火薬とともに「ルネッサンスの三大発明」といわれる。歴史の教科書にある記述ですが、日本では江戸時代まで木版印刷が行われていました。印刷技術の教材として使うために、久し振りに取り出して読んでいました。

千葉雄七胤秀著『算法新書』(和算書=数学書)です。奥付きには天保五年(1834年)とあります。

印刷された和紙を袋綴じにして製本されています。

木版であるとは信じられない細かさです。

情報伝達の歴史を語る上で重要な印刷技術ですが、日本の江戸時代の技術もなかなかのものです。

活版印刷技術のお陰で、西洋では聖書のみならず楽譜も広く行き渡るようになったのですね。

本日の練習:指ならしに3音のアルペジオの練習、"40 Easy to Early Intermediate Pieces for Renaissance Lute"のNo.17~21、ダウランドの"Sir John Smith, His Almain"、アテニャンのBasse dance "La Magdalena"(Basse Dance, Recoupe, Tourdion)。


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記念すべき絵馬 [和算]

随分古いと言っても、たった15年前の写真ですが、奈良の弘仁寺に掛けられている絵馬である。子どもの頃から古いモノ好きの私は、当時古都の寺社を巡ったり、古道を歩いたりと、今から思えば随分優雅な生活を送っていました。

これは「算額」と言って、私たちが簡単に接することの出来る、江戸時代の数学について書かれた貴重な文化財なのですが、私にとって、和算(明治以前の日本の数学)に出会った記念すべき絵馬なのです。この額は高次方程式の解法の最後の段階を記述したもの。「解けたぞー!」って感じでしょうか。

これは、長野の善光寺にある算額の一部。立体の綺麗な絵が描かれています。別な場所での展覧会で見たのですが、もう一度見たくて善光寺を訪ねたところ、親切に蔵を開けて見せて下さいました。「算額に惹かれて善光寺参り」ですね。

古い楽譜から、とんだところに飛んでしまいました。そろそろ軌道修正しなくっちゃ。でも、ジツは数学が私の本業なのです。


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モーツァルト12才 [和算]

1768年で検索すると、モーツァルト12才の年だそうな。日本では江戸中期。町人文化が花開いた、日本のルネッサンス期に相当する年代である。

 

これは江戸時代の数学(算数)の教科書の前書き、明和五(戊子)年=1768年との記述があります。

江戸初期の1627年(寛永4年)に吉田光由が書いた『塵劫記』(じんこうき)は、江戸時代を通じてベストセラーとなり、多くの海賊版も出回りました。この本もその一つですが、「『塵劫記』の海賊版が多く出回っているが、間違いも多いので、この本はそれを正した決定版である。」のようなことが書かれています。

教科書の最初は、数の位について書かれています。

 

大数の位は私たちが使っているものと同じですが、小数の位は一桁ずれています。「分」は今では0.01の位ですが、江戸時代では0.1の位だったのですね。

九九から始まりそろばんでの計算法や当時生活に必要だった算術全般にわたって書かれています。

木版の書物ですが、現在の味気ない教科書とは異なり、「アマリッリ麗し」の譜に共通する美しさを感じます。

奥付に版を彫った職人の名前が誇らしげに書かれています。


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